VKB metodu

VKB metodu (Ventzel-Kramers-Brillüen) – Kvant mexanikasında kvaziklassik yaxınlaşmadır. Bu metod klassik trayektoriyalar, kvant spektri və dalğa funksiyası arasında əlaqə qurur, belə ki, dalğa funksiyası klassik təsir vasitəsilə ifadə olunur. Bu metod 1926-ci ildə bir-birindən asılı olmadan üç fizik Q.Ventzel^[1], H.Kramers ^[2]və L.Brillüenin^[3] tərəfindən inkişaf etdirildiyinə görə VKB metodu adını almışdır.

Şredinger tənliyini yazaq:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+U(x)\psi =E\psi }$

Burada ${\displaystyle U}$ potensialının ${\displaystyle x=0}$ nöqtəsində minimumunun olduğu və bu nöqtədən uzaqlaşdıqca monoton artdığı nəzərdə tutulur. Belə potensialda ${\displaystyle E}$ enerjisinə malik klassik zərrəcik (maddi nöqtə) ${\displaystyle U(x)=E}$ tənliyinin həlləri olan ${\displaystyle a}$ və ${\displaystyle b}$ nöqtələri arasında periodik rəqs edəcək. Yeni dəyişənlər daxil edək

${\displaystyle k(x)={\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}[E-U(x)]}}}$

və Şredinger tənliyini yenidən yazaq:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+k^{2}(x)\psi =0}$

Dalğa funksiyasını aşağıdakı şəkildə göstərək:

${\displaystyle \psi (x)=A(x)\exp {[{\frac {i}{\hbar }}S(x)]}}$

burada amplitud ${\displaystyle A}$ və eksponentin qüvvəti ${\displaystyle S}$ həqiqi nəzərdə tutulurlar. Sonuncu ifadəni Şredinger tənliyində nəzərə alsaq aşağıdakı diferensial tənlikləri alarıq:

${\displaystyle A(S')^{2}=Ap^{2}+\hbar ^{2}A''}$

${\displaystyle S''A+2S'A=0}$

burada ${\displaystyle p(x)=\hbar k(x)}$ lokal impulsdur. Alınmış tənliklər Şredinger tənliyinə tam ekvivalentdirlər. Kvaziklassik yaxınlaşmada ${\displaystyle \hbar ^{2}A''}$ həddi kiçik olduğu üçün atıla bilər (bu yazınlaşmasız qeyri-xətti Rikkati tənliyi dəqiq həll olunmur). Bu halda alınan ifadələri inteqrallamaq olur:

${\displaystyle S(x)=\int \limits _{x_{0}}^{x}{p(x)dx}}$

${\displaystyle A={\frac {\psi _{0}}{\sqrt {|p(x)|}}}}$

burada ${\displaystyle S(x)}$ klassik təsirə uyğun gəlir. Nəticədə kvaziklassik dalğa funksiyasını tapmış oluruq:

${\displaystyle \psi (x)={\frac {\psi _{0}}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {({\frac {i}{\hbar }}\int \limits _{x_{0}}^{x}{p(x)dx})}}$

Təsvir olunan bu metod VKB metodu adlanır.

1. ↑ Wentzel, Gregor (1926). "Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik". Zeitschrift der Physik 38: 518–529
2. ↑ Kramers, Hendrik A. (1926). "Wellenmechanik und halbzählige Quantisierung". Zeitschrift der Physik 39: 828–840.
3. ↑ Brillouin, Léon (1926). "La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives". Comptes Rendus de l'Academie des Sciences 183: 24–26.